6C2011SemPhy Séance TICE sur la radioactivité

1. Révisons la radioactivité avec une carte mentale.

 

2. Utilisons la méthode d’Euler pour retrouver l’âge d’un échantillon organique trouvé sur un site historique.

 

Enoncé : La durée de demi-vie du carbone 14 est T = 5730 ± 40 ans. Cet isotope radioactif est produit en haute atmosphère par interaction de neutrons avec l’azote 14 de l’air puis subit une désintégration β pour donner à nouveau de l’azote 14. On considère que la proportion en carbone 14 est constante dans le CO₂ assimilé par les plantes. Une fois morte, la plante n’échange plus de carbone avec l’atmosphère et sa teneur en carbone 14 diminue. On dispose d’un échantillon de bois retrouvé dans une sépulture mérovingienne (du Vième au VIIIième siècle). Pour savoir si cet échantillon est bien d’époque, on le compare à un échantillon identique (même essence, même masse, même taux d’humidité...). Le rapport des activités mesurées est de 85%. L’échantillon ancien est-il de l’époque de la tombe ou apporté plus tard par ceux qui l’ont découvert ?

 

1. Ecrire les équations de formation puis de désintégration du carbone 14.

2. Expliquer la relation dN = -λNdt et la mettre sous la forme d’une équation différentielle.

1. On part des conditions initiales (ici une seule car c’est une équation différentielle du 1ier ordre) N(t = 0s) = N₀. Il nous faut une valeur numérique... ...pourquoi pas 100 ? De cette manière nous devons retrouver la date à laquelle il n’en restera plus que 85.
2. On laisse le temps s’écouler pas à pas par intervalle δt très petits devant la durée de demi-vie. Si la valeur est plus petite, ce sera plus précis, mais il faut quand même limiter le nombre de calculs. On prendra δt = 200 ans. On crée dans le tableau une première colonne pour le temps qui commence à t₀ = 0 ans et qui est incrémentée de δt jusqu’à t = 2T.
   
3. On reprend notre formule qui devient approximative : δN ≈ -λNδt. Pour remplir la deuxième colonne, on procède par récurrence : N_i+1 = N_i + δN_i. Attention : δN_i ≈ -λN_iδtdonc le nombre de désintégrations diminue au cours du temps, proportionnellement à N_i. On crée donc une seconde colonne en faisant attention d’utiliser le signe $ pour bloquer les références de certaines cellules lors des recopies incrémentées. On rappelle la relation λ = (-ln2)/T.
   
4. Une fois les calculs faits, ont peut directement utiliser le tableau, mais faire un graphique (XY) permet de voir que l’on ne s’est pas trompé : la courbe de décroissance doit être de forme exponentielle N(t) = N₀.e^-λt = N₀.e^-ln2.t/T(forme commune aux phénomènes aléatoires).
5. Il ne reste plus qu’à lire dans le tableau la date à laquelle il reste 85% des noyaux (donc 85 noyaux pour nous) et à conclure ! (La méthode numérique a remplacé ici la connaissance des équations différentielles du premier ordre).

 

a) Pour plus de renseignement, allez voir cet article.

b) Si vous avez été absent à ce séminaire, regardez la solution dans le fichier attaché, mais PAS sans avoir essayé avant !