6C Contrôle du chapitres 10 et 14 et corrigé

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Oscillateurs mécaniques : 5,5 points .

Les parties A et B sont indépendantes. Dans tout ce qui suit, les frottements sont négligés.

Partie A : pendule simple.

On étudie un pendule simple constitué d’une masse ponctuelle m, attachée à l’une des extrémités d’un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur L.

Ce pendule est placé dans le champ de pesanteur dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.

 

L’autre extrémité du fil est attachée en un point fixe A. Écarté de sa position d’équilibre G₀, le pendule oscille sans frottements avec une amplitude b_m. G_i est la position initiale à partir de laquelle le pendule est abandonné sans vitesse. Une position quelconque G est repérée par b , élongation angulaire mesurée à partir de la position d’équilibre.

1. Étude énergétique.
   - Donner l’expression de l’énergie cinétique en G.
   - On prendra l’origine des énergies potentielles en G₀, origine de l’axe des z. On montre que, dans ce cas, l’énergie potentielle en G peut se mettre sous la forme : E_P = mgL(1 - cosb ). Donner l’expression de l’énergie mécanique en fonction de m, g, L, v et b. Pourquoi l’énergie mécanique se conserve-t-elle ?
   - Exprimer la vitesse au passage par la position d’équilibre en fonction de g, L et b_m. Calculer sa valeur.
   Données : g = 10 m.s^-2 ; L = 1,0 m ; cosb_m = 0,95.
2. Isochronisme.
   - Énoncer la loi d’isochronisme des petites oscillations.
   - Choisir l’expression correcte de la période parmi les suivantes, en justifiant par une analyse dimensionnelle :

Partie B : oscillateur élastique.

Un solide (S) de masse m, de centre d’inertie G, peut glisser sans frottements sur une tige horizontale. Il est accroché à un ressort (R) à spires non jointives, de raideur k = 4,0 N.m^-1. L’ensemble constitue un oscillateur élastique horizontal, non amorti. La masse du ressort est négligeable devant m et (S) entoure la tige de telle sorte que G se trouve sur l’axe de celle-ci.

On étudie le mouvement de translation du solide (S) dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Lorsque le solide (S) est à l’équilibre, son centre d’inertie G se situe à la verticale du point O, origine de l’axe des abscisses. Le solide est écarté de 10 cm de sa position d’équilibre et abandonné sans vitesse initiale à la date t = 0 s.

On procède à l’enregistrement des positions successives de G au cours du temps par un dispositif approprié. On obtient la courbe ci-dessous :

 

1. Étude dynamique.
   - Reproduire sur la copie le schéma du dispositif expérimental ci-dessus. Représenter et nommer les forces en G, sans souci d’échelle, s’exerçant sur le solide (S).
   - En appliquant la deuxième loi de Newton au solide (S), établir l’équation différentielle (relation entre x et ses dérivées par rapport au temps) régissant le mouvement de son centre d’inertie G.
   - Une solution de l’équation différentielle peut s’écrire sous la forme : x(t) = X_m cos( 2p/T₀ t+j ). (X_m est l’amplitude et j la phase initiale). Retrouver l’expression de la période T₀ en fonction de m et de k.
2. Étude énergétique.
   L’énergie potentielle de pesanteur est choisie nulle dans le plan horizontal passant par G. Donner l’expression littérale de l’énergie mécanique du système ressort + solide, en fonction de k, m, x et sa dérivée première.
   - À partir de l’enregistrement ci-dessus, trouver pour quelles dates l’énergie potentielle élastique du système ressort + solide est maximale. Que vaut alors l’énergie cinétique ?
   - Calculer la valeur de l’énergie mécanique du système.

Partie C : comparaison des périodes.

1. Les comportements des deux pendules précédents sont maintenant envisagés sur la Lune.

   Parmi les hypothèses ci-dessous, choisir pour chaque pendule celle qui est correcte. Justifier.

   Hypothèse 1	Hypothèse 2	Hypothèse 3
   T0 ne varie pas	T0 augmente	T0 diminue

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corrigé

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énergie cinétique en G : Ec= ½mv² ( masse m en kg ; vitesse v en m/s ; énergie en joule J)

expression de l’énergie mécanique, somme des énergies cinétique et potentielle.

E= Ec+Ep = ½mv² + mgL(1 - cosb )

En absence de frottements, l’énergie mécanique se conserve.

ou bien, seul le poids travaille, la tension du fil étant perpendiculaire à la vitesse : en conséquence l’énergie mécanique se conserve.

vitesse au passage par la position d’équilibre :

Au départ en G_i, l’énergie mécanique est sous forme potentielle de pesanteur : mgL(1 - cosb_m )

Au pasage en G₀, l’énergie est sous forme cinétique et la vitesse est maximale v_max : ½mv²_max.

L’énergie mécanique se conserve : mgL(1 - cosb_m ) = ½mv²_max.

gL(1 - cosb_m ) = ½v²_max ; v²_max =2gL(1 - cosb_m ) ; v_max = (2gL(1 - cosb_m ))^½.

v_max = (20(1 - 0,95 ))^½= (20*0,05)^½= 1 m/s.

loi d’isochronisme des petites oscillations :

Lorsqu’on écarte un pendule simple de sa position d’équilibre d’une abscisse angulaire b_m et qu’on l’abandonne à lui même,on constate que, pour des valeurs de b_m n’excédant pas une dizaine de degrés, celui-ci effectue des oscillations libres dont la période T est indépendante de b_m. On dit que le pendule simple vérifie la loi d’isochronisme des petites oscillations.

analyse dimensionnelle : le second membre doit être homogène à un temps.

2p est sans dimension.

g : accélération en m/s² : longueur / temps² soit[g]= LT² ; L : longueur en mètre

g/L : 1/temps ² soit [g/L]=T^-2 ; [racine carrée (g/L)] =T^-1

La première expression est fausse ; mais on peut en déduire que la troisième expression est exacte car [racine carrée (L/g)] =T.

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l’équation différentielle m x"+ kx=0 s’écrit : x"+k/m x=0 ou encore x"+w²x=0 avec w ²=k/m

Or w = 2p/T₀ soit T₀ = 2p/ w = 2p racine carrée (m/k).

Expression littérale de l’énergie mécanique du système ressort + solide

énergie cinétique : Ec=½mv² avec v=x’ ; Ec=½mx’²

énergie potentielle élastique : Ep=½kx²

énergie mécanique : E=½mx’²+½kx².

L’énergie potentielle élastique du système ressort + solide est maximale lorsque x=X_m soit aux dates : 0, 1, 2 s.

Lénergie cinétique est nulle à ces mêmes dates ( la tangente à la courbe à ces dates est horizontale : donc x’=0)

Valeur de l’énergie mécanique du système :

en absence de frottement l’énergie mécanique du système se conserve ; il suffit de calculer l’énergie mécanique initiale à t=0, celle-ci se trouve sous forme potentielle élastique :

E= ½kX²_m = 0,5*4*0,01 = 0,020 J= 20 mJ.

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Sur la Lune g_lune est environ 6 fois plus petit que g_terre. La masse est constante.

la période du pendule est proportionnelle à g^-½ : donc si g diminue, la période augmente.

La période de l’oscillateur élastique est indépendante de g ; de plus la masse est constante ; la raideur est une caractéristique du ressort. La période de l’oscillateur élastique ne change pas.