6A Oscillateurs mécaniques et méthode d’Euler

mercredi 30 janvier 2013 par Luc Tartier

En mécanique, l’équation différentielle vient de l’application de la seconde loi de Newton :

Pour un pendule élastique horizontal, le poids est annulé par la réaction de la barre et si les frottements étaient nuls on aurait : m.a = m.dv/dt = m.d²x/dt² = -k.x (projection de la relation vectorielle sur un axe)

La méthode d’Euler (1707-1783) est facile à comprendre et à appliquer avec un tableur-grapheur. On prendra comme exemple une masse m = 0,200 kg attachée à un ressort de raideur k = 50N.m^-1 :

On part des conditions initiales v₀ = 0 m/s et x₀ = X_max = 0,05 m (On écarte la masse m de 5cm de sa position d’équilibre et on la lâche sans vitesse initiale.).
On laisse le temps s’écouler pas à pas par intervalle δt = 0,01s très petits devant la période attendue. On crée dans le tableau une première colonne pour le temps qui commence à t₀ = 0s et qui est incrémentée de δt jusqu’à t = 0,5s.
L’accélération est donnée par la seconde loi de Newton. Ici a_i = -k.x_i/m et dépend de l’allongement du ressort à un instant donné. On crée une seconde colonne pour l’accélération qui commence (à t₀ = 0s) à a₀ = -k.x₀/m
Par définition l’accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps : a = dv/dt. Cela devient, à l’instant de date t_i, a_i = (v_i+1 - v_i)/δt = -k.x_i/m avec la deuxième loi de Newton. On en déduit v_i+1 = v_i -k.x_i/m.δt. On crée une troisième colonne pour la vitesse qui commence à v₀ = 0 m/s. Pour calculer les prochaines valeurs de v_i, on applique la formule à tout le reste de la colonne.
Par définition, la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps v = dx/dt. On retrouve donc le même raisonnement : à l’instant de date t_i, v_i = (x_i+1 - x_i)/δt que l’on transforme en v_i.δt = x_i+1 - x_i et x_i+1 = x_i + v_i.δt. On crée une quatrième colonne pour la position qui commence à x₀ = X_max = 0,05 m et on applique la formule pour calculer les prochaines valeurs de la position.
On trace les graphiques a(t) v(t) et x(t) pour faire apparaître l’évolution de la masse qui devrait être sinusoïdale si l’intervalle de temps δt est suffisamment petit.

A) Ouvrir le fichier joint "TP_OscillateurHarmoniqueEuler6A.xls" pour remplir les colonnes préparées à gauche pour l’oscillateur idéal et voir les graphiques s’afficher.

B) Refaire la réflexion pour une oscillateur amorti par des frottements fluides dont l’intensité est proportionnelle à la vitesse f = b.v et remplir le tableau de droite.

Documents joints

TP_OscillateurHarmoniqueEuler6A.xls (Excel – 96 ko)

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